Download e-book for iPad: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer by Otto Forster

By Otto Forster

ISBN-10: 3658003162

ISBN-13: 9783658003166

ISBN-10: 3658003170

ISBN-13: 9783658003173

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am machine nachvollzogen werden können. Die vorliegende eleven. Auflage wurde um einige Aufgaben und Beispiele erweitert.

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5) lim n = 0. n→∞ 2n Beweis. F¨ur alle n > 3 gilt n2 2n , wie man durch vollst¨andige Induktion beweist (vgl. 1). Daraus folgt n2 n 1 . 1, also 2n 2n n Sei ε > 0 vorgegeben und N > max(3, 1/ε). d. −0 = n 2n 2 n Bevor wir die n¨achsten Beispiele behandeln, f¨uhren wir noch einen weiteren wichtigen Begriff ein. Definition (Beschr¨anktheit von Folgen). Eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen heißt nach oben (bzw. nach unten) beschr¨ankt, wenn es eine Konstante K ∈ R gibt, so dass an K f¨ur alle n ∈ N (bzw.

Aus diesem folgt unter anderem, dass jeder unendliche Dezimalbruch (ob periodisch oder nicht) gegen eine reelle Zahl konvergiert. Eine charakteristische Eigenschaft konvergenter Folgen, die formuliert werden kann, ohne auf den Grenzwert der Folge Bezug zu nehmen, wurde von Cauchy entdeckt. Definition. Eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen heißt Cauchy-Folge, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N, so dass |an − am | < ε f¨ur alle n, m N. Eine andere Bezeichnung f¨ur Cauchy-Folge ist Fundamental-Folge.

Satz 3. Das Intervallschachtelungs-Prinzip impliziert das Vollst a¨ ndigkeitsAxiom. Beweis. Sei (an )n∈N eine vorgegebene Cauchy-Folge. Nach Definition gibt es eine Folge n0 < n1 < n2 < . . nat¨urlicher Zahlen mit |an − am | < 2−k f¨ur alle n, m nk . § 5 Das Vollst¨andigkeits-Axiom 52 Wir definieren nun 2−k+1 }. Ik := {x ∈ R : |x − ank | Die Ik sind abgeschlossene Intervalle mit Ik ⊃ Ik+1 f¨ur alle k. Denn sei etwa x ∈ Ik+1 . h. x ∈ Ik . h. |x0 − ank | 2−k+1 nk ist |an − ank F¨ur n |x0 − an | < 2 f¨ur alle k | < 2−k , −k+1 +2 −k 0.

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by Kevin
4.2

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